Question

13．已知函数f（x）=|x-a|+|x+a|，（a≠0），$g（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+x，（{x＞0}）\\{x^2}+x，（{x≤0}）\end{array}\right.$则f（x），g（x）的奇偶性依次为（　　）

• A． 偶函数，奇函数
• B． 奇函数，偶函数
• C． 偶函数，偶函数
• D． 奇函数，奇函数

Answer 1

分析 直接运用奇偶性的定义判断f（x）的奇偶性，在用分类讨论的办法确定g（x）的奇偶性，进而得到结果．

解答 解：先考察f（x）=|x-a|+|x+a|，
f（-x）=|-x-a|+|-x+a|=|x+a|+|x-a|=f（x），
即f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数；
再考察$g（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+x，（{x＞0}）\\{x^2}+x，（{x≤0}）\end{array}\right.$，
①当x＞0时，g（x）=-x²+x，
所以-x＜0，g（-x）=（-x）²+（-x）=x²-x=-（-x²+x）=-g（x），
②当x＜0时，也满足g（-x）=-g（x），
且g（0）=0，所以，g（x）为R上的奇函数，
即f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
故答案为：A．

点评 本题主要考查了运用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，涉及绝对值函数和分段函数奇偶性的判断，属于中档题．