Question

19．已知抛物线y=x²-4x+1．将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线．
（1）求平移后的抛物线解析式．
（2）若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将y=x²-4x+1配方，再由函数图象的平移变换法则，得到平行后的解析式；
（2）求出两条抛物线的顶点坐标和交点坐标，进而可得满足条件的实数m的取值范围．

解答 解：（1）将y=x²-4x+1配方，
得y=（x-2）²-3，向左平移4个单位，
得y=（x+2）²-3，
所以平移后得抛物线的解析式为y=x²+4x+1…（4分）
（2）由（1）可知，两抛物线的顶点坐标为：（2，-3），（-2，-3）．
而又由$\left\{\begin{array}{l}y={x^2}-4x+1\\ y={x^2}+4x+1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1.\end{array}\right.$
所以两条抛物线的交点为（0，1），
如图．由图象知，若直线y=m与两条抛物线有且只有四个交点时，

m＞-3且m≠1．…（8分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．