Question

8．函数$y=\frac{1}{3}{（\frac{1}{8}）^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+1$在x∈[-1，1]上的值域是[$\frac{1}{3}，\frac{5}{3}$]．

Answer 1

分析 令$（\frac{1}{2}）^{x}=t$换元，求出t的范围，然后利用导数求函数g（t）=$\frac{1}{3}{t}^{3}-t+1$的最值得答案．

解答 解：由$y=\frac{1}{3}{（\frac{1}{8}）^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+1$，令$（\frac{1}{2}）^{x}=t$，
∵x∈[-1，1]，∴t=$（\frac{1}{2}）^{x}∈[\frac{1}{2}，2]$．
原函数化为g（t）=$\frac{1}{3}{t}^{3}-t+1$．
g′（t）=t²-1．
由t²-1=0，得t=-1（舍），或t=1．
当t∈（$\frac{1}{2}，1$）时，g′（t）＜0，当t∈（1，2）时，g′（t）＞0．
∴当t=1时，g（t）有极小值为g（1）=$\frac{1}{3}$．
又g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{13}{24}$，g（2）=$\frac{5}{3}$．
∴函数$y=\frac{1}{3}{（\frac{1}{8}）^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+1$在x∈[-1，1]上的值域是[$\frac{1}{3}，\frac{5}{3}$]．
故答案为：[$\frac{1}{3}，\frac{5}{3}$]．

点评 本题考查复合函数的单调性，考查了换元法及利用导数求函数的最值，是中档题．