Question

3．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则$\frac{f（2）}{f（1）}$的取值范围是（2⁹，2¹⁰）．

Answer 1

分析 根据条件分别构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{9}}$和h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{10}}$，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{9}}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）{x}^{9}-f（x）9{x}^{8}}{（{x}^{9}）^{2}}$=$\frac{xf′（x）-9f（x）}{{x}^{10}}$，
∵9f（x）＜xf'（x），
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-9f（x）}{{x}^{10}}$＞0，
即g（x）在（0，+∞）上是增函数，
则g（2）＞g（1），
即$\frac{f（2）}{{2}^{9}}$＞$\frac{f（1）}{{1}^{9}}$，则$\frac{f（2）}{f（1）}$＞2⁹，
同理设h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{10}}$，
∴h′（x）=$\frac{f′（x）{x}^{10}-f（x）•10{x}^{9}}{（{x}^{10}）^{2}}$=$\frac{xf′（x）-10f（x）}{{x}^{11}}$，
∵xf'（x）＜10f（x），
∴h′（x）=$\frac{xf′（x）-10f（x）}{{x}^{11}}$＜0，
即h（x）在（0，+∞）上是减函数，
则h（2）＜h（1），
即$\frac{f（2）}{{2}^{10}}$＜$\frac{f（1）}{{1}^{10}}$，则$\frac{f（2）}{f（1）}$＜2¹⁰，
综上2⁹＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜2¹⁰，
故答案为：（2⁹，2¹⁰）

点评 本题主要考查函数取值范围的求解，根据条件分别构造两个函数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键．