Question

14．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2，PA=3，AD=6，PA⊥底面ABCD，E是PD上的动点．若CE∥平面PAB，则三棱锥C-ABE的体积为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥C-ABE的体积．

解答 解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（6，0，0），P（0，0，3），
设E（a，0，c），$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AD}$，则（a，0，c-3）=（6λ，0，-3λ），
解得a=6λ，c=3-3λ，∴E（6λ，0，3-3λ），
$\overrightarrow{CE}$=（6λ-2，-2，3-3λ），
平面ABP的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∵CE∥平面PAB，∴$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}$=6λ-2=0，
解得$λ=\frac{1}{3}$，∴E（2，0，2），
∴E到平面ABC的距离d=2，
∴三棱锥C-ABE的体积：
V_C-ABE=V_E-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．