Question

5．对于三次函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$，则$f（0）+f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+$…$+f（\frac{2015}{2017}）+f（\frac{2016}{2017}）+f（1）$=2018．

Answer 1

分析 推导出f（x）+f（1-x）=2，由此能求出$f（0）+f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+$…$+f（\frac{2015}{2017}）+f（\frac{2016}{2017}）+f（1）$的值．

解答 解：∵三次函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}+3x-\frac{5}{12}$+$\frac{1}{3}（1-x）^{3}-\frac{1}{2}（1-x）^{2}+3（1-x）-\frac{5}{12}$=2，
∴$f（0）+f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+$…$+f（\frac{2015}{2017}）+f（\frac{2016}{2017}）+f（1）$=2×1009=2018．
故答案为：2018．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出f（x）+f（1-x）=2．