Question

20．已知函数f（x）=x³-ax-2在x=1处取得极值．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≤x²-2x+b对x∈[0，2]恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值即可；
（2）问题转化为b≥x³-x²-x-2对x∈[0，2]恒成立，令g（x）=x³-x²-x-2，x∈[0，2]，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-a，
∵f（x） 在x=1处取得极值，
∴f′（1）=3-a=0，解得：a=3；
（2）由（1）得f（x）=x³-3x-2，
∵f（x）≤x²-2x+b对x∈[0，2]恒成立，
∴x³-3x-2≤x²-2x+b对x∈[0，2]恒成立，
即b≥x³-x²-x-2对x∈[0，2]恒成立，
令g（x）=x³-x²-x-2，x∈[0，2]，
g′（x）=3x²-2x-1=0，解得x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍）        
g（x）在（0，1）单调递减，（1，2）单调递增，
g（0）=-2，g（2）=0，
∴g（x）_max=0，
∴b≥0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及极值的意义，是一道中档题．