Question

已知定义在R 上的可导函数y=f（x）满足：当x≤2时，f′（x）≤0；当x≥2时，f′（x）≥0．则下列结论：
①f′（2）=0；
②f（4）-f（3）≥0；
③f（

2

3

）-f（

1

3

）≤0；
④f（1）+f（3）≥2f（2）．
其中成立的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：导数的运算

专题：函数的性质及应用

分析：由条件利用导数的符号可得可得函数f（x）在（-∞，2）上是减函数或常数函数、在（2，+∞）上是增函数或常数函数，由此判断各个选项是否正确，从而得出结论

解答： 解：根据当x≤2时，f′（x）≤0；当x≥2时，f′（x）≥0，
可得函数f（x）在（-∞，2）上是减函数或常数函数，在（2，+∞）上是增函数或常数函数．
故x=2是函数的极小值点，故有①f′（2）=0成立；f（4）≥f（3），故②成立；
∴f（

2

3

）≤f（

1

3

），∴③成立；
再根据f（1）≥f（2）、f（3）≥f（2），可得④f（1）+f（3）≥2f（2）成立，
故选：D．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用，属于基础题．