Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为．

(Ⅰ)证明；

(Ⅱ)设Q₁，Q₂为椭圆上的两个动点，OQ₁⊥OQ₂，过原点O作直线Q₁Q₂的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即． 　　解得，从而得到． 　　直线的方程为，整理得． 　　由题设，原点到直线的距离为，即， 　　将代入上式并化简得，即． 　　证法二：同证法一，得到点的坐标为． 　　过点作，垂足为，易知，故． 　　由椭圆定义得，又， 　　所以， 　　解得，而，得，即． 　　(Ⅱ)解法一：设点的坐标为． 　　当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，． 　　点的坐标满足方程组 　　将①式代入②式，得， 　　整理得， 　　于是，． 　　由①式得 　　． 　　由知．将③式和④式代入得， 　　． 　　将代入上式，整理得． 　　当时，直线的方程为，的坐标满足方程组 　　所以，． 　　由知，即， 　　解得． 　　这时，点的坐标仍满足． 　　综上，点的轨迹方程为． 　　解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为． 　　记(显然)，点的坐标满足方程组 　　由①式得．③ 　　由②式得．④ 　　将③式代入④式得． 　　整理得， 　　于是．⑤ 　　由①式得．⑥ 　　由②式得．⑦ 　　将⑥式代入⑦式得， 　　整理得， 　　于是．⑧ 　　由知．将⑤式和⑧式代入得， 　　． 　　将代入上式，得． 　　所以，点的轨迹方程为．