Question

18．已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=1，且$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{3}}$，$\frac{1}{{a}_{9}}$成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差d≠0，a₁=1，且$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{3}}$，$\frac{1}{{a}_{9}}$成等比数列．可得$\frac{1}{{a}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$×$\frac{1}{{a}_{9}}$，解得d，即可得出．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：设数列{a_n}的公差d≠0，a₁=1，且$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{3}}$，$\frac{1}{{a}_{9}}$成等比数列．
∴$\frac{1}{{a}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$×$\frac{1}{{a}_{9}}$，解得：${a}_{3}^{2}$=a₁•a₉，∴（1+2d）²=1×（1+8d），d≠0，解得d=1．
∴a_n=1+n-1=n．
（2）证明：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．
∴T_n＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．