Question

已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，P是曲线C上的动点，点A（2，0），M是线段AP的中点．
（Ⅰ）求点M轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）求证点M到点E（

3

2

，0）、F（3、0）的距离之比是常数．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2，可得直角坐标方程x²+y²=4．可设曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=2sinθ

，设P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）再利用中点坐标公式即可得出．
（II）利用两点间的距离公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2，可得

x2+y2

=2，即x²+y²=4．
可设曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=2sinθ

，
设P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）
则

x= 2cosθ+2 2 =cosθ+1 y= 2sinθ 2 =sinθ

，
消去θ可得点M的轨迹方程为：（x-1）²+y²=1（x≠2）；
（Ⅱ）设M（cosθ+1，sinθ），
则

|ME|

|MF|

=

(cosθ+1- 3 2 )2+sin2θ

(cosθ+1-3)2+sin2θ

=

5 4 -cosθ

5-4cosθ

=

1

2

．

点评：本题综合考查了圆的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程及中点坐标、两点间的距离公式，属于基础题．