Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（a∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．数列{a_n}的通项公式为an=

1

f(n+3)-1

（n∈N^*）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a=0或a=4，再利用函数的单调性能求出f（x）的表达式．
（2）由（1）知f（n+3）-1=n²+2n=n（n+2），从而得到an=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂项求和法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵不等式f（x）=x²-ax+a≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a²-4a=0，解得a=0或a=4．（3分）
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）递增，不满足条件②，
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，满足条件②，（5分）
综上得a=4，
∴f（x）=x²-4x+4．（6分）
（2）由（1）知f（n+3）-1=n²+2n=n（n+2），（8分）
∴an=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，（10分）
∴S_n=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．（14分）

点评：本题考查函数的表达式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．