Question

已知函数f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1，x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）若将y=f（x）的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位，所得到的曲线恰好经过坐标原点，求ϕ的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）依题意，可知f（0）=1；
（2）利用北京公式与辅助角公式可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

），f（x-ϕ）=2sin（2x+

π

6

-2ϕ），利用y=2sin（2x+

π

6

-2ϕ）经过坐标原点，ϕ＞0，即可求得ϕ的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1，
∴f（0）=4cos0sin

π

6

-1=1；
（2）∵f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
∴f（x-ϕ）=2sin[2（x-ϕ）+

π

6

]=2sin（2x+

π

6

-2ϕ），
∵y=2sin（2x+

π

6

-2ϕ）经过坐标原点，
∴

π

6

-2Φ=kπ（k∈Z），
∴ϕ=

π

12

-

kπ

2

（k∈Z），又ϕ＞0，
∴当k=0时，ϕ取得最小值，为

π

12

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）是关键，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的性质，属于中档题．