Question

已知数列{a_n}中，a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*且n≥2）．
（1）求a₂、a₃的值；
（2）若数列{

an+λ

2n

}为等差数列，求实数λ的值；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，分别令n=2，n=3，由递推思想能求出a₂、a₃的值．
（2）由已知条件推导出

an+λ

2n

=

an-1+λ

2n-1

+1-

1+λ

2n

，由此能求出数列{

an+λ

2n

}为等差数列时实数λ的值．
（3）由（2）知数列{

an-1

2n

}是首项为2，公差为1的等差数列，从而能求出an=(n+1)•2n+1，由此利用裂项求和法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*且n≥2），
∴a₂=2×5+2²-1=10+4-1=13，
a3=2×13+23-1=26+8-1=33．…（3分）
（2）∵a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*且n≥2），
∴

an+λ

2n

=

2an-1+2n-1+λ

2n

=

an-1+λ

2n-1

+1-

1+λ

2n

．…（5分）
∴当且仅当

1+λ

2n

=0，即λ=-1时，
数列{

an+λ

2n

}为等差数列．…（7分）
（3）由（2）的结论知：数列{

an-1

2n

}是首项为

a1-1

2

=2，
公差为1的等差数列，
∴

an-1

2n

=2+(n-1)×1=n+1，…（9分）
∴an=(n+1)•2n+1，…（10分）
∴S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ+n，
2S_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹+2n，…（11分）
两式相减，得
-S_n=4+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）•2ⁿ⁺¹-n，…（12分）
∴Sn=n•(2n+1+1)，（n∈N^*）．…（14分）

点评：本题考查数列中某项值的求法，考查等差数列的性质的应用，考查数列前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．