Question

设F₁，F₂分别是椭圆D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂作倾斜角为

π

3

的直线交椭圆D于A，B两点，F₁到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）已知点M（-1，0），设E是椭圆D上的一点，过E、M两点的直线l交y轴于点C，若

CE

=λ

EM

，求λ的取值范围；
（Ⅲ）作直线l₁与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为（-2，0），若点N（0，t）是线段PQ垂直平分线上一点，且满足

NP

•

NQ

=4，求实数t的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）AB的方程为：y=

3

(x-c)，由F₁到直线AB的距离为3，可求c，结合连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4，即可求出求椭圆D的方程；
（Ⅱ）由

CE

=λ

EM

，可得e的坐标，代入椭圆方程，即可求λ的取值范围；
（Ⅲ）分类讨论，写出线段PQ垂直平分线方程，利用

NP

•

NQ

=4，结合韦达定理，即可求实数t的值．

解答： 解：（Ⅰ）设F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0），其中c＞0
由题意得AB的方程为：y=

3

(x-c)
∵F₁到直线AB的距离为3，
∴有

|- 3 c- 3 c|

3+1

=3，解得c=

3

…（2分）
∴a²-b²=c²=3…①
由题意知：

1

2

×2a×2b=4，即ab=2…②
联立①②解得：a=2，b=1，
∴所求椭圆D的方程为

x2

4

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆D的方程为

x2

4

+y2=1
设E（x₁，y₁），C（0，m），
∵

CE

=λ

EM

，∴（x₁，y₁-m）=λ（-1-x₁，-y₁），
∴x1=-

λ

1+λ

，y1=

m

1+λ

…（7分）
又E是椭圆D上的一点，则

(- λ 1+λ )2

4

+(

m

1+λ

)2=1
∴m2=

(3λ+2)(λ+2)

4

≥0
解得：λ≥-

2

3

或λ≤-2…（9分）
（Ⅲ）由P（-2，0），设Q（x₁，y₁）
根据题意可知直线l₁的斜率存在，可设直线斜率为k，则直线l₁的方程为y=k（x+2）
把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
由韦达定理得-2+x1=-

16k2

1+4k2

，则x1=

2-8k2

1+4k2

，y₁=k（x₁+2）=

4k

1+4k2

∴线段PQ的中点坐标为(-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)
（1）当k=0时，则有Q（2，0），线段PQ垂直平分线为y轴
于是

NP

=(-2，-t)，

NQ

=(2，-t)
由

NP

•

NQ

=-4+t2=4，解得：t=±2

2

…（11分）
（2）当k≠0时，则线段PQ垂直平分线的方程为y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)
由点N（0，t）是线段PQ垂直平分线的一点，令x=0，得：t=-

6k

1+4k2

于是

NP

=(-2，-t)，

NQ

=(x1，y1-t)
由

NP

•

NQ

=-2x1-t(y1-t)=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，解得：k=±

14

7

代入t=-

6k

1+4k2

，解得：t=±

2 14

5

综上，满足条件的实数t的值为t=±2

2

或t=±

2 14

5

．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．