Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知2an-1=Sn，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由题意知na_n=n•2^n-1，利用错位相减法能求出数列{na_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵2an-1=Sn，n∈N*，
∴当n=1时，2a₁-1=a₁，解得a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首项为a₁=1，公比为q=2的等比数列，
∴an=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）∵an=2n-1，
∴na_n=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，①
2T_n=1•2+2•2²+3•3³+…+n•2ⁿ，②
①-②，得：-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1×(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴Tn=(n-1)•2n+1．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．