Question

某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线Γ焦点F的两条弦，且其焦点F（0，1），

AC

•

BD

=0，点E为y轴上一点，记∠EFA=α，其中α为锐角．
①求抛物线Γ方程；
②如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①直接由抛物线的焦点坐标得到抛物线的标准方程；
②由题意结合图形，把A、B、C、D四点的坐标分别用|AF|、|BF|、|CF|、|DF|和α表示，代入抛物线方程后最终求得|AF|、|BF|、|CF|、|DF|，代入两个三角形面积后作和，换元后利用配方法求面积的最小值．

解答： 解：①由抛物线Γ焦点F（0，1）得，抛物线Γ方程为x²=4y；
②设AF=m，则点A（-msinα，mcosα+1），
∴（-msinα）²=4（1+mcosα），即m²sin²α-4mcosα-4=0．

解得：m=

4cosα±4

2sin2α

=

2(cosα±1)

sin2α

，
∵m＞0，∴|AF|=

2(cosα+1)

sin2α

．
同理：|BF|=

2(1-sinα)

cos2α

，|DF|=

2(1+sinα)

cos2α

，
|CF|=

2(1-cosα)

sin2α

．
“蝴蝶形图案”的面积
S=S△AFB+S△CFD=

1

2

AF•BF+

1

2

CF•DF=

4-4sinαcosα

(sinαcosα)2

．
令t=sinαcosα，t∈(0，

1

2

]，∴

1

t

∈[2，+∞)．
则S=4•

1-t

t2

=4(

1

t

-

1

2

)2-1，∴

1

t

=2时，即α=

π

4

时“蝴蝶形图案”的面积最小为8．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系的应用，关键是把A、B、C、D四点的坐标分别用
|AF|、|BF|、|CF|、|DF|和α表示，代入抛物线方程后最终求得|AF|、|BF|、|CF|、|DF|，考查了学生的运算推理的能力和计算能力，是高考试卷中的压轴题．