Question

给出下列命题：①若函数f(x)=

(3a-1)x+4a，x＜1 logax，x≥1

在（-∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是(0，

1

3

)；②若函数f（x）满足f（x+1）=f（3-x），则f（x）的图象关于直线x=2对称；③函数y=f（x+1）与函数y=f（3-x）的图象关于直线x=2对称；④若函数f（x+2013）=x²-2x-1（x∈R），则f（x）的最小值为-2．其中正确命题的序号有

 

（把所有正确命题的序号都写上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：利用函数的单调性判断①的正误；利用函数的图象的对称性判断②的正误；利用两个函数的图象的对称性判断③的正误；利用二次函数的最值以及函数的图象的左右平移不改变函数的最值判断④的正误；

解答： 解：对于①，函数f(x)=

(3a-1)x+4a，x＜1 logax，x≥1

在（-∞，+∞）上是减函数，
∴a∈（0，1），并且3a-1＜0，解得a＜

1

3

，
3a-1+4a≥0，解得a≥

1

7

，
∴a∈[

1

7

，

1

3

)，
∴①不正确；
对于②，函数f（x）满足f（x+1）=f（3-x），则f（x）的图象关于直线x=2对称，
∴②正确；
对于③，函数y=f（x+1）与函数y=f（3-x）的图象关于直线x=2对称；
∵函数y=f（a+x）与函数y=f（b-x）的图象关于直线x=

b-a

2

对称，
∴函数y=f（x+2）的图象与函数y=f（3-x）的图象关于直线x=

3-1

2

=1对称，
∴③不正确．
对于④，函数f（x+2013）=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，函数的最小值是-2，则f（x）与f（x+2013）只是函数的图象左右平移，不改变函数的最小值为-2．
∴④正确．
综上正确是命题是：②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查函数的图象的单调性，函数的最值，考查函数图象的对称性，要求区分f（a+x）=f（a-x）与y=f（a+x）和y=f（a-x）的对称性是区别，前者关于x=a对称，后者关于y轴对称．