Question

如图，正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为H．则以下命题中，错误的命题是（　　）

• A、点H是△A₁BD的垂心
• B、AH垂直平面CB₁D₁
• C、直线AH和BB₁所成角为45°
• D、AH的延长线经过点C₁

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：简易逻辑

分析：首先，判断三棱锥 A-BA₁D为正三棱锥，然后，得到△BA₁D为正三角形，得到H为A在平面A₁BD内的射影，然后，根据平面A₁BD与平面B₁CD₁平行，得到选项B正确，最后，结合线面角和对称性求解．

解答： 解：∵AB=AA₁=AD，
BA₁=BD=A₁D，
∴三棱锥 A-BA₁D为正三棱锥，
∴点H是△A₁BD的垂心；
故选项A正确；
对于选项B：
∵平面A₁BD与平面B₁CD₁平行，
∵AH⊥平面A₁BD，
∵平面A₁BD⊥平面BC₁D，
∴AH垂直平面CB₁D₁，
选项B正确；
根据正方体的对称性得到
AH的延长线经过C₁，
∴选项D正确；
对于选项C，
∵AA₁∥BB₁，
∴∠A₁AH就是直线AH和BB₁所成角，
在直角三角形AHA₁中，
∵AA₁=1，A1H=

2

3

×

3

2

×

2

=

6

3

，
∴sin∠A1AH=

6

3

，
所以选项C错误，
故选C．

点评：本题重点考查空间中点线面的位置关系，属于中档题．