Question

已知命题p：对任意的区间[1，2]内的实数x，x²-a≥0恒成立；命题q：方程x²+2ax+2-a=0有实根．若命题p，q都是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：令f（x）=x²，利用等价转化思想可知a≤f（x）_min，易求f（x）_min=1，从而可求命题p为真命题时a的取值范围；同理可求得命题q是真命题时a的取值范围，利用p∧q为真，即可求得答案．

解答： 解：命题p：∵?x∈[1，2]，x²-a≥0恒成立，令f（x）=x²，
则a≤f（x）_min；
∵f（x）=x²在区间[1，2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=1，
∴a≤1；
命题q：∵方程x²+2ax+2-a=0有实根，
∴△=（2a）²-4×1×（2-a）≥0，
整理得：a²+a-2≥0，
解得：a≥1或a≤-2；
∵命题p，q都是真命题，
∴a=1或a≤-2；
即实数a的取值范围为{a|a=1或a≤-2}．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查函数恒成立问题，突出等价转化思想与运算求解能力的考查，属于中档题．