Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x+1

．
（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；
（2）求证：ln（n+1）＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

（n∈N^*）．
（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）令h（x）=lnx+

2

x+1

-1，求导数，可得h（x）在（1，+∞）上单调递增，即可得证；
（2）由（1）知x∈（1，+∞），lnx＞

x-1

x+1

，令x=

k+1

k

，则ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，利用累加，即可得出结论；
（3）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可确定函数f（x）有且只有一个零点，实数a的取值范围．

解答： （1）证明：当a=2时，f（x）=lnx+

2

x+1

，
令h（x）=lnx+

2

x+1

-1，则h′(x)=

x2+1

x(x+1)2

＞0
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（1）=0，
∴对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；
（2）证明：由（1）知x∈（1，+∞），lnx+

2

x+1

＞1，
即lnx＞

x-1

x+1

，
令x=

k+1

k

，则ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，∴

n

i=1

ln

k+1

k

＞

n

i=1

1

2k+1

，
∴ln（n+1）=

n

i=1

ln

k+1

k

＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

；
（3）解：f′（x）=

x2-(a-2)x+1

x(x+1)2

．
令f′（x）=0，则x²-（a-2）x+1=0，△=（a-2）²-4=a（a-4）．
①0≤a≤4时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上递增，函数只有一个零点；
②a＜0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上递增，函数只有一个零点；
③当a＞4时，△＞0，设f'（x）=0的两根分别为x₁与x₂，
则x₁+x₂=a-2＞0，x₁•x₂=1＞0，不妨设0＜x₁＜1＜x₂
当x∈（0，x₁）及x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上递增，在（x₁，x₂）上递减，
而f(x2)=lnx2+

a

x2+1

＞0
∴x∈（x₁，+∞）时，f（x）＞0，且f（x₁）＞0
因此函数f（x）在（0，x₁）有一个零点，而在（x₁，+∞）上无零点；
此时函数f（x）只有一个零点；
综上，函数f（x）只有一个零点时，实数a的取值范围为R．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．