Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，己知

m

=（cosA，

3

sinA），

n

=（2cosA，-2cosA），

m

•

n

=-1．
（Ⅰ）若a=2

3

，c=2，求△ABC的面积；
（Ⅱ）求

b-2c

acos(60°+C)

的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积为-1，利用平面向量数量积运算法则计算列出关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，确定出A的度数，由a与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，即可确定出△ABC的面积；
（Ⅱ）原式利用正弦定理化简后，根据A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入关系式整理后约分即可得到结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（cosA，

3

sinA），

n

=（2cosA，-2cosA），

m

•

n

=-1．
∴2cos²A-2

3

sinAcosA=cos2A-

3

sin2A+1=-1，即-2（

3

2

sin2A-

1

2

cos2A）=-2，
∴sin（2A-

π

6

）=1，
∵A为三角形内角，
∴2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
∵a=2

3

，c=2，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，
得：sinC=

csinA

a

=

2× 3 2

2 3

=

1

2

，
∵C为三角形内角，∴C=

π

6

，
∴B=

π

2

，
则S_△ABC=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
（Ⅱ）∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴原式=

sinB-2sinC

sinAcos(60°+C)

=

sinB-2sinC

3 2 cos(60°+C)

=

sin(120°-C)-2sinC

3 2 cos(60°+C)

=

3 2 cosC+ 1 2 sinC-2sinC

3 2 cos(60°+C)

=

3 cos(60°+C)

3 2 cos(60°+C)

=2．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．