Question

已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足

b-a

c

=

sinB-sinC

sinB+sinA

，关于x的不等式x²cosC+4xsinC+6≥0对任意的x∈R恒成立．
（1）求角A的值；
（2）求f（C）=2sinC•cosB的值域．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由条件利用正弦定理可得b²-a²+c²=bc，再由余弦定理可得cosA的值，可得A的值．
（2）化简f（C为-sin(2C+

π

3

)+

3

2

，再根据cosC＞0以及△=16sin²C-24cosC≤0，求得cosC的范围，可得C的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（C）的范围．

解答： 解：（1）∵

b-a

c

=

sinB-sinC

sinB+sinA

，由正弦定理可得

b-a

c

=

b-c

b+a

，化简可得b²-a²+c²=bc．
再由余弦定理可得 cosA=

b2-a2+c2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）∵f(C)=2sinC•cosB=-sin(2C+

π

3

)+

3

2

，
∵

cosC＞0 △=16sin2C-24cosC≤0

⇒cosC≥

1

2

⇒0＜C≤

π

3

．
∵0＜C≤

π

3

，∴

π

3

＜2C+

π

3

≤π，sin(2C+

π

3

)∈[0，1]，
f(C)∈[-1+

3

2

，

3

2

]．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．