Question

已知命题p：任意x∈R，x²+1≥a，命题q：函数f（x）=x²-2ax+1在（-∞，-1]上单调递减．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p和q均为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（1）对于命题p：任意x∈R，x²+1≥a，由x²≥0，即可得到实数a的取值范围；
（2）当q为真命题时，函数f（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²在（-∞，-1]上单调递减．
利用二次函数的单调性可得a≥-1，由于p和q均为真命题，因此

a≤1 a≥-1

，解得即可．

解答： 解：（1）对于命题p：任意x∈R，x²+1≥a，∵x²≥0，∴a≤1，即实数a的取值范围是（-∞，1]；
（2）当q为真命题时，函数f（x）=x²-2ax+1在（-∞，-1]上单调递减．
∴a≥-1，
∵p和q均为真命题，∴

a≤1 a≥-1

，解得-1≤a≤1，
∴实数a的取值范围是[-1，1]．

点评：本题考查了二次函数的单调性、简易逻辑的有关知识，属于基础题．