Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是边长为3的正方体，点P、Q、R分别是棱AB、AD、AA₁上的点，AP=AQ=AR=1，则四面体C₁PQR的体积为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：四面体C₁PQR为两个同底面的四棱锥C₁PQA和四面体APQR的组合体体积，与四面体APQR的体积的差，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答： 解：∵C₁C⊥面ABCD，BD?面ABCD，
∴C₁C⊥BD．
又∵AC⊥BD，C₁C∩AC=C，C₁C，AC?面ACC₁，
∴BD⊥面ACC₁，
又∵AC₁?面ACC₁，
∴AC₁⊥BD．
又∵PQ∥BD，
∴AC₁⊥PQ．
同理AC₁⊥QR．
又∵PQ∩QR=Q，PQ，QR?面PQR
∴AC₁⊥面PQR．
∵AP=AQ=AR=1，
∴PQ=QR=RP=

2

．
∵AC₁=3

3

，且V_A-PQR=

1

3

•

1

2

•1²•1=

1

6

，
∴四面体C₁PQR的体积V=

1

3

•

3

4

•(

2

)2•3

3

-V_A-PQR=

4

3

故答案为：

4

3

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，等积法是解答此类问题常用的方法，本题求组合全的体积思路较为复杂，为中档题．