Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形．DC=4，PD⊥PB，点E是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥面PBD：
（Ⅱ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出四边形DEBA为正方形，PO⊥平面ABCD，由此能证明AE⊥平面PBD．
（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A且与面AC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：E为CD中点，四边形DEBA为菱形，
在直角三角形PBD中，BD=2

2

，
∴AB²+AD²=8=BD²，∴AB⊥AD，
∴四边形DEBA为正方形，∴AE⊥BD，
由已知得PA=PB=PD=2，
∴点P在底面ABCD内的射影O是△ABD的外心，
又AB⊥AD，∴O为BD中点，
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AE，
又PO与BD是平面PBD的两条相交直线，
∴AE⊥平面PBD．
（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A且与面AC垂直的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，

2

），
∴

DC

=(0，4，0)，

DP

=(-1，1，

2

)，

BC

=(2，2，0)，
设平面PCD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • DC =0 n • DP =0

，∴

4y=0 -x+y+ 2 z=0

，
令x=

2

，得y=0，z=1，∴

n

=(

2

，0，1)，
∴cos＜

n

，

BC

＞=

n • BC

| n |•| BC |

=

2 2

3 • 8

=

3

3

，
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．