Question

甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第一名至第五名的名次．比赛之后甲乙两位参赛者去询问成绩，回答者对甲说“根遗憾，你和乙都投有得到冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．
（Ⅰ）从上述回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同的情况；
（Ⅱ）比赛组委会规定，第一名获奖金1000元，第二名获奖金800元，第三名获奖金600元，第四及第五名没有奖金，求丙获奖金数的期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,排列、组合的实际应用

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由已知条件，先求出冠军有几种可能，再求乙的名次有几种可能，上述位置确定后，求出甲连同其余二人可任意排列，有几种可能，按乘法原理计算名次排列的可能情况的种数．
（Ⅱ）丙可能获得第一名、第二名、第三名、第四名或第五名，并分别求出相应的概率，能得到随机变量丙获得奖金数X的可能取值为1000，800，600，0，由此能求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵甲、乙都没有得冠军，
∴冠军是其余3人中的一个，有

A

1 3

种可能，
∵乙不是第五名，
∴乙是第二、第三或第四名中的一名，有

A

1 3

种可能，
上述位置确定后，甲连同其余二人可任意排列，有

A

3 3

种可能，
∴名次排列的可能情况的种数有：

A

1 3

•

A

1 3

•

A

3 3

=54种可能．
（Ⅱ）丙可能获得第一名、第二名、第三名、第四名或第五名，
P（丙获第一名）=

1

3

，
P（丙获第二名）=

C 1 2 C 1 2 C 1 2

54

=

4

27

，
P（丙获第三名）=P（丙获第四名）=

4

27

，
P（丙获第五名）=

2

9

，
∴随机变量丙获得奖金数X的可能取值为1000，800，600，0，
P（X=1000）=

1

3

，
P（X=800）=

4

27

，
P（X=600）=

4

27

，
P（X=0）=

4

27

+

2

9

=

10

27

，
EX=1000×

1

3

+800×

4

27

+600×

4

27

=

14600

27

（元）．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题．解题时要注意排列组合的合理运用．