Question

如图所示，在直角坐标平面上的矩形OABC中，|OA|=2，|OC|=

3

，点P，Q满足

OP

=λ

OA

，

AQ

=1(1-λ)

AB

(λ∈R)，点D是C关于原点的对称点，直线DP与CQ相交于点M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若过点F（-1，0）且斜率不为零的直线与点M的轨迹相交于G，H两点，直线AG和AH与定直线l：x=-4分别相交于点R，S，试判断以RS为直径的圆是否经过点F？说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）设出动点M的坐标，由已知求出A、B、C、D的坐标，由已知的向量关系得到DP和CQ的直线方程，两式相乘消参后得到点M的轨迹方程；
（2）设出过点F（-1，0）且斜率不为0的直线CH的方程，和（1）中求出的曲线方程联立后利用根与系数关系得到G、H两点的纵坐标的和与积，把直线AG、AH的方程分别用G、H的坐标表示，求出R和S的坐标，代入数量积

FR

•

FS

，整理后再代入根与系数关系，化简后可得

FR

•

FS

=0，从而证得答案．

解答： 解：（1）设点M的坐标为（x，y），A（2，0），B（2，

3

），C（0，

3

），D（0，-

3

）．
由

OP

=λ

OA

，得点P坐标为（2λ，0），
由

AQ

=(1-λ)

AB

，得点Q的坐标为（2，

3

(1-λ)）．
于是，当λ≠0时，
直线DP的方程为：y+

3

=

3

2λ

x，①
直线CQ的方程为：y-

3

=

3 λ

-2

x．②
①×②得，y2-3=-

3

4

x2，即

x2

4

+

y2

3

=1．
当λ=0时，点M即为点C，而点C的坐标（0，

3

）也满足上式，
故点M的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设过点F（-1，0）且斜率不为0的直线CH的方程为x=my-1，且设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²-6my-9=0    ③
由于方程③的判别式△=（-6m）²+36（3m²+4）＞0，
∴y₁，y₂是方程③的两根，且y1+y2=

6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

．
又A（2，0），
∴直线AG的方程为y=

y1

x1-2

(x-2)，因此点R的坐标为(-4，

-6y1

x1-2

)．
同理可得，直线AH的方程为y=

y2

x2-2

(x-2)，因此点S的坐标为(-4，

-6y2

x2-2

)．
∴

FR

•

FS

=(-3，

-6y1

x1-2

)•(-3，

-6y2

x2-2

)=9+

36y1y2

(x1-2)(x2-2)

．
又（x₁-2）（x₂-2）=（my₁-3）（my₂-3）=m²y₁y₂-3m（y₁+y₂）+9
=m2•

-9

3m2+4

-3m•

6m

3m2+4

+9=

36

3m2+4

．
于是

FR

•

FS

=9+

36y1y2

(x1-2)(x2-2)

=9+

36×(-9)

3m2+4

×

3m2+4

36

=0．
故点F在以RS为直径的圆周上．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，是直线与圆锥曲线的综合题，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，是高考试卷中的压轴题．