Question

已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（-

π

3

，0）．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=[f（x）]²-2，求函数g（x）的最小正周期与单调递增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）的图象经过点(-

π

3

，0)，可得sin(-

π

3

)+acos(-

π

3

)=0，由此求得a的值．
（2）由（1）得f(x)=sinx+

3

cosx，利用三角恒等变换化简g（x）=[f（x）]²-2的解析式为2sin(2x+

π

6

)，可得函数的最小正周期．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点(-

π

3

，0)，∴f(-

π

3

)=0，
即sin(-

π

3

)+acos(-

π

3

)=0，即-

3

2

+

a

2

=0，解得a=

3

．
（2）由（1）得f(x)=sinx+

3

cosx．
∴g（x）=[f（x）]²-2=(sinx+

3

cosx)2-2=sin2x+2

3

sinxcosx+3cos2x-2=

3

sin2x+cos2x 
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)=2(sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

)=2sin(2x+

π

6

)．
∴函数的最小正周期为

2π

2

=π．
∵函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴函数的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

点评：本题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．