Question

若函数y=f（x）对定义域的每一个值x₁，都存在唯一的x₂使f（x₁）f（x₂）=1成立，则称此函数为“梦想函数”．下列说法正确的是

 

．（把你认为正确的序号填上）
①y=

1

x2

是“梦想函数”；②y=2^x是“梦想函数”；③y=lnx是“梦想函数”；
④若y=f（x），y=g（x）都是“梦想函数”，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是“梦想函数”．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义

分析：①假设y=f（x）=

1

x2

是“梦想函数”，其定义域为A={x|x≠0}．
对于?x₁∈A，

1

x 2 1

•

1

x 2 2

=1成立，取x₁=1，则x₂=±1，不满足新定义；
②假设y=f（x）=2^x是“梦想函数”，其定义域是R．
对于?x₁∈R，2x1•2x2=1成立，解得x₂=-x₁，满足条件；
③假设y=f（x）是lnx是“梦想函数”，其定义域是A=（0，+∞）．
对于?x₁∈A，lnx₁lnx₂=1成立，当取x₁=1时，lnx₁=0，上式不成立，即可判断出；
④假设y=f（x）•g（x）是“梦想函数”，对于定义域中每一个x₁，都存在唯一的x₂，
使y=f（x₁）f（x₂）=1和y=g（x₁）g（x₂）=1成立，e而两个x₂不一定相等，不满足定义．

解答： 解：①假设y=f（x）=

1

x2

是“梦想函数”，其定义域为A={x|x≠0}．
对于?x₁∈A，则?唯一的x₂∈A，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，即

1

x 2 1

•

1

x 2 2

=1，化为|x₁x₂|=1．
若取x₁=1，则x₂=±1，与假设矛盾，因此假设错误，即y=f（x）=

1

x2

不是“梦想函数”；
②假设y=f（x）=2^x是“梦想函数”，其定义域是R．
?x₁∈R，则?唯一的x₂∈R，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，即2x1•2x2=1成立，∴2x1+x2=1，解得x₁+x₂=0，即x₂=-x₁，满足条件，因此y=f（x）=2^x是“梦想函数”；
③假设y=f（x）是lnx是“梦想函数”，其定义域是A=（0，+∞）．
?x₁∈A，则?唯一的x₂∈A，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，即lnx₁lnx₂=1成立，当取x₁=1时，lnx₁=0，上式不成立，
因此假设错误，故y=f（x）=lnx不是“梦想函数”；
④∵y=f（x），y=g（x）都是“梦想函数”，且定义域相同，
∴对于定义域中每一个x₁，都存在唯一的x₂，使y=f（x₁）f（x₂）=1和y=g（x₁）g（x₂）=1成立，
∵两个x₂不一定相等，
∴y=f（x₁）g（x₁）•f（x₂）g（x₂）=1不一定成立，
∴⑤不是“梦想函数”．
综上可知：只有②是“梦想函数”．
故答案为：②．

点评：本题考查了新定义、指数函数和对数函数等函数的性质，考查了推理能力和解决新问题的能力，属于难题．