Question

变量x，y满足约束条件

y≥-1 x-y≥2 3x+y≤14

，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（　　）

• A、{-3，0}
• B、{3，-1}
• C、{0，1}
• D、{-3，0，1}

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论．

解答： 解：不等式对应的平面区域如图：
由z=ax+y得y=-ax+z，
若a=0时，直线y=-ax+z=z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．
若-a＞0，则直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=-ax+z与y=x-2平行，
此时-a=1，解得a=-1．
若-a＜0，则直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=-ax+z与y=-3x+14平行，
此时-a=-3，解得a=3．
综上满足条件的a=3或a=-1，
故实数a的取值集合是{3，-1}，
故选：B．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合是解决本题的根据．