Question

已知在正三棱锥P-ABC中，侧棱与底面边长相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，有下列四个结论：
①BC∥平面PDF；
②DF⊥平面PAE；
③平面PDF⊥平面ABC；
④平面PAE⊥平面ABC，
其中正确的结论有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：利用正三棱锥的性质、三角形的中位线定理、线面面面平行于垂直的判定定理即可得出．

解答： 解：如图所示，
①在△ABC中，∵D、F分别是AB、AC的中点，
∴DF∥BC，
又BC?平面PDF，DF?平面PDF，
∴BC∥平面PDF；
因此正确．
②由正三棱锥P-ABC，∴AB=AC，AB=AC．
∵E是BC的中点，
∴BC⊥AE，BC⊥PE．
又PE∩AE=E，∴BC⊥平面PAE．
又∵DE∥BC，
∴DF⊥平面PAE；
因此正确．
③设点O是底面ABC的中心，则PO⊥底面ABC，而PO?平面PFD，
∴平面PDF与平面ABC不垂直，因此③不正确；
④由②可知：BC⊥平面PAE，BC?平面ABC．
∴平面PAE⊥平面ABC，
因此正确．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题综合考查了正三棱锥的性质、三角形的中位线定理、线面面面平行于垂直的判定定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．