Question

在等比数列{a_n}中，己知a₁=2，a₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，试求数列{b_n}的通项公式及数列{a_nb_n}前n项和S_n．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，求出公比，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）利用a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，求出数列{b_n}的首项与公差，即可确定通项公式，利用错位相减法，可求数列{a_nb_n}前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵等比数列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，
∴q=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）∵a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，
∴

b1+2d=8 b1+4d=32

，
∴

b1=-16 d=12

，
∴b_n=-16+12（n-1）=12n-28，
∴a_nb_n=（12n-28）•2ⁿ，
∴S_n=-16•2+（-4）•2²+…+（12n-28）•2ⁿ，
∴2S_n=-16•2²+…+（12n-40）•2ⁿ+（12n-28）•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-S_n=-16•2+12•2²+…+12•2ⁿ-（12n-28）•2ⁿ⁺¹=12•

2(1-2n)

1-2

-56-（12n-28）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（3n-10）•2ⁿ⁺³-80．

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项，考查数列的求和，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题．