Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（b-a）（sinB+sinA）=（b-c）sinC，cosC=

3

3

，a=3．
（Ⅰ）求sinB；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出的关系式代入求出cosA的值，确定出A的度数，由cosC的值求出sinC的值，将sinB变形为sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）由a，sinA，sinC的值，利用正弦定理求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得：（b-a）（b+a）=c（b-c），
即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵A为三角形的内角，
∴A=

π

3

，
∵cosC=

3

3

，
∴sinC=

1-cos2C

=

6

3

，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

3

2

×

3

3

+

1

2

×

6

3

=

3+ 6

6

；
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，得：

3

3 2

=

c

6 3

，即c=2

2

，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×3×2

2

×

3+ 6

6

=

3 2 +2 3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．