Question

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排列成如图数表，已知图中的第一列数a₁，a₂，a₅…构成一个等差数列，记为数列{b_n}，且b₂=4，b₅=10，图中每一行正中间一个数a₁，a₃，a₇…构成数列{c_n}，其前n项和为S_n．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若图中从第2行开始，每一行中的数按从左到右的顺序均成等比数列，且公比是同一个正数，已知a₁₉=

5

2

，求S_n．

Answer 1

考点：数列的应用,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设{b_n}的公差为d，利用b₂=4，b₅=10，建立方程组，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）设每一行组成的等比数列的公比为q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²个数，且4²＜19＜5²，解得q=

1

2

，c_n=

n

2n-2

，由错位相减法能够求得S_n．

解答： 解：（Ⅰ）设{b_n}的公差为d，
则

b1+d=4 b1+4d=10

，解得

b1=2 d=2

，∴b_n=2n．
（Ⅱ）设每一行组成的等比数列的公比为q，
由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²个数，且4²＜19＜5²，
∴a₁₇=b₅=10，
∴a₁₉=a₁₇q²=10q²，
又a₁₉=

5

2

，解得q=

1

2

，
∴c_n=

n

2n-2

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2-1

+

2

20

+…+

n

2n-2

，
∴

1

2

S_n=

1

20

+

2

21

+…+

n

2n-1

，
两式相减可得

1

2

S_n=4-

n+2

2n-1

，
∴S_n=8-

n+2

2n-2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法、前n项和的计算和等比数列性质的应用，解题时要注意方程思想和错位相减求和法的合理运用，注意合理地进行等价转化．