Question

已知函数f（x）=x⁴+x²-1，g（x）=ax³+x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与y=g（x）在点（1，1）处相交且有相同的切线，求a，b的值；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）+g（x），若对于任意的a∈[-2，2]，函数y=F（x）在区间[-1，1]上的值恒为负数，求b的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（1，1）处相交且有相同的切线，建立方程组，即可求a，b的值；
（Ⅱ）由题知对任意的a∈[-2，2]，在x∈[-1，1]上F（x）=x⁴+ax³+2x²+b-1＜0恒成立，即x⁴+ax³+2x²-1＜-b恒成立，设h（x）=x⁴+ax³+2x²-1，则h（x）_max＜-b，求出最值，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=4x³+2x，切线斜率k=f'（1）=6，------------（2分）
由题知

g′(1)=6 g(1)=1

，即

3a+2=6 a+b+1=1

，解得a=

4

3

，b=-

4

3

．------------（5分）
（Ⅱ）由题知对任意的a∈[-2，2]，在x∈[-1，1]上F（x）=x⁴+ax³+2x²+b-1＜0恒成立，
即x⁴+ax³+2x²-1＜-b恒成立．------------（7分）
设h（x）=x⁴+ax³+2x²-1，则h（x）_max＜-b
h'（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4），
令y=4x²+3ax+4，则对任意的a∈[-2，2]，恒有△=9a²-64＜0，则恒有4x²+3ax+4＞0
当x∈[-1，0]时，h'（x）=x（4x²+3ax+4）≤0，函数h（x）单调递减，
当x∈（0，1]时，h'（x）=x（4x²+3ax+4）＞0，函数h（x）单调递增．------------（12分）
h（x）_max=max{h（-1），h（1）}=max{a+2，2-a}=4，
所以-b＞4，即b＜-4------------（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力．