Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+π，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若?m∈R，?x∈[-

π

3

，

π

3

]，使f(x)≤

m

2

-3m-2成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知中函数图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+π，-2）．易求出函数的最值及周期，进而求出A，ω值，再由图象在y轴上的截距为1，|ϕ|＜

π

2

，将（0，1）点代入可求出φ值，即可得到f（x）的解析式；
（2）通过x 的范围求出函数的最大值，然后求解不等式的解集即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象
在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+π，-2）．
∴T=2π，即ω=1，A=2，
∴f（x）=2sin（x+ϕ），
又∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）的图象在y轴上的截距为1，
∴函数图象过（0，1），
∴sinϕ=

1

2

，
∵|ϕ|＜

π

2

，
∴ϕ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（x+

π

6

）；
（2）f（x）=2sin（x+

π

6

）在x∈[-

π

3

，

π

3

]时函数的最大值为：2．
∴2≤

m

2

-3m-2，
解得：m≥1或m≤-1．

点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．