Question

设函数f（x）=sinx+sin（x+

π

3

）．
（1）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（2）在△ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B=2A，且b=2af（A-

π

6

），求角C的大小．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的图象即可得出最小值，以及此时x的集合；
（2）利用正弦定理及第一问的化简得到的解析式，将b=2af（A-

π

6

）变形，整理后求出tanA的值，确定出A的度数，进而确定B的度数，即可确定出C的度数．

解答： 解：（1）f（x）=sinx+

1

2

sinx+

3

2

cosx=

3

2

sinx+

3

2

cosx=

3

（

3

2

sinx+

1

2

cosx）=

3

sin（x+

π

6

），
当x+

π

6

=2kπ-

π

2

（k∈Z），即x=2kπ-

2π

3

（k∈Z）时，f（x）取得最小值-

3

，
则f（x）的最小值为-

3

，此时x的集合为{x|x=2kπ-

2π

3

（k∈Z）}；
（2）∵b=2af（A-

π

6

）=2

3

asinA，
∴利用正弦定理化简得：sinB=2

3

sin²A，
将B=2A代入得：sin2A=2

3

sin²A，即2sinAcosA=2

3

sin²A，
∵sinA≠0，∴cosA=

3

sinA，即tanA=

3

3

，
∴A=

π

6

，B=2A=

π

3

，
则C=π-（A+B）=

π

2

．

点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．