Question

生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标	[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
元件A	8	12	40	32	8
元件B	7	18	40	29	6

（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下：
（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；
（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题设条件能求出元件A为正品的概率和元件B为正品的概率．
（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5-x件，由题意知100x-20（5-x）≥300，由此能求出生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率．
（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，-30，分别求出P（X=150），P（X=90），P（X=30），P（X=-30），由此能求出X的分布列和EX．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为

40+32+8

100

=

4

5

，
元件B为正品的概率为

40+29+6

100

=

3

4

．…（2分）
（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5-x件，
由题意知100x-20（5-x）≥300，
得到x=4，5，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件C，
则P（C）=

C

4 5

(

3

4

)4×

1

4

+

C

5 5

(

3

4

)5=

81

128

．…（6分）
（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，-30，
则P（X=150）=

4

5

×

3

4

=

3

5

，
P（X=90）=

1

5

×

3

4

=

3

20

，
P（X=30）=

4

5

×

1

4

=

1

5

，
P（X=-30）=

1

5

×

1

4

=

1

20

，
所以X的分布列为：

X	150	90	30	-30
P	3 5	3 20	1 5	1 20

…（10分）
EX=150×

3

5

+90×

3

20

+30×

1

5

-30×

1

20

=108．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．