Question

已知函数f（x）=sin²x+

3

cosxsinx-

1

2

，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcosA=2c-

3

a，求f（B）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinA不为0求出cosB的值，确定出B度数，即可求出f（B）的值．

解答： 解：（1）f（x）=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，
∴T=

2π

2

=π；
（2）已知等式利用正弦定理化简得：2sinBcosA=2sinC-

3

sinA，
即2sinBcosA=2sin（A+B）-

3

sinA=2sinAcosB+2cosAsinB-

3

sinA，
整理得：2sinAcosB=

3

sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=

3

2

，
∴B=

π

6

，
则f（B）=sin（2B-

π

6

）=sin

π

6

=

1

2

．

点评：此题考查了正弦定理，三角函数的周期性及其求法，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．