Question

已知a＞0，b＞0，且a²+b²=

9

2

，若a+b≤m恒成立，
（Ⅰ）求m的最小值；
（Ⅱ）若2|x-1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）变形已知表达式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；
（Ⅱ）通过2|x-1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，结合（Ⅰ）的结果，利用x的范围分类讨论，求出实数x的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a²+b²=

9

2

，
∴9=（a²+b²）（1²+1²）≥（a+b）²，
∴a+b≤3，（当且仅当

a

1

=

b

1

，即

a= 3 2 b= 3 2

时取等号）
又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．
故m的最小值为3．…（4分）
（II）要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立，须且只须2|x-1|+|x|≥3．
∴

x≤0 -2x+2-x≥3

或

0＜x≤1 -2x+2+x≥3

或

x＞1 2x-2+x≥3

∴x≤-

1

3

或x≥

5

3

．…（7分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立的应用，考查计算能力．