Question

在直三棱柱（侧面垂直于底面的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AA₁记线段CD、A₁B₁的中心分别是P、E连接AE、BP，得到如图所示的几何体
（1）若AA₁=a，图甲给出了异面直线之间的距离的一种算法框图（其中异面直线的公垂线是指两异面直线都垂直且相交的直线）请利用这种方法求异面直线AE和BP之间的距离；
（2）若AA₁=2，在线段A₁P上是否存在一点F，使得平面AFB⊥平面A₁BP？若存在，指出点F的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（3）若AA₁=a，在线段A₁C上有一M，过点M做垂直于平面A₁ACC₁的直线l，与直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的其他侧面相交于N，过CM=x，MN=y，求函数y=f（x）的解析式，并据此求出线段MN的长度最大值．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间向量及应用

分析：（1）分别以AD、AB、AA₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE和BP之间的距离．
（2）假设在线段A₁P上存在满足题意的点F，设F（x，y，z），分别求出平面A₁BP的一个法向量和平面AEB的一个法向量，再利用向量法进行计算．
（3）根据题意作出图，分0≤x≤

3

2

a和

3

2

a＜x≤

3

a两种情况进行分类讨论，由此能求出函数y=f（x）的解析式，并据此求出线段MN的长度最大值．

解答： 解：（1）由题意知四边形ABCD为正方形，
∴AD，AB，AA₁三线两两垂直，
分别以AD、AB、AA₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则由题意知A（0，0，0），E（0，

a

2

，a），B（0，a，0），P（a，

a

2

，0），
设异面直线AE与BP的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

AE

•

n

=0，

BP

•

n

=0，
∴

a 2 y+az=0 ax- a 2 y=0

，∴

n

=(1，2，-1)，
又∵

AP

=（a，

a

2

，0），
∴异面直线AE和BP之间的距离：
d=

| AP • n |

| n |

=

|a+a+0|

6

=

6

3

a．
（2）∵AA₁=2，∴A₁（0，0，2），P（2，1，0），B（0，2，0），
∴

A1P

=(2，1，-2)，

A1B

=（0，2，-2），
设平面A₁BP的一个法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），
则

A1P • n1 =2x1+y1-2z1=0 A1B • n1 =2y1-2z1=0

，
∴

n1

=(1，2，2)，
假设在线段A₁P上存在满足题意的点F，设F（x，y，z），
由

A1F

=λ

A1P

，（0≤λ≤1），
即（x，y，z-2）=λ（2，1，-2），
得x=2λ，y=λ，z=2-2λ，
∴F（2λ，λ，2-2λ），
则

AF

=（2λ，λ，2-2λ），

AB

=(0，2，0)，
设平面AEB的一个法向量

n2

=(x2，y2，z2)，
则

AF • n2 =2λx2+λy2+(2-2λ)z2=0 AB • n2 =2y2=0

，
∴

n2

=（λ-1，0，λ），
∵平面AFB⊥平面A₁BP，
∴

n1

•

n2

=λ-1+2λ=0，解得λ=

1

3

．
∴存在这样的点，
当点F为线段A₁P上靠近A₁的一个三等分点时，符合题意．
（3）根据题意作出图如图1，
①当0≤x≤

3

2

a时，
把MN向平面ABC内正投影得到M′N′，如图2，
则MN=M′N′，
∵

CM′

CM

=

CA

CA1

=

2 a

3 a

=

6

3

，
∴CM′=

6

3

x
在等腰直角三角形M′N′C中，M‘N’=CM‘=

6

3

x，
∴MN=

6

3

x，
∴当0≤x≤

3

2

a时，y=

6

3

x．
②当

3

2

a＜x≤

3

a时，
把MN向平面ABC内正投影得到M′N′，如图3，
则MN=M′N′，
∵

AM′

A1M

=

CA

CA1

=

2 a

3 a

=

6

3

，
∴AM′=

6

3

(

3

a-x)，
在等股直角三角形M′N′A中，
M′N′=AM′=

6

3

(

3

a-x)，
∴MN=

6

3

(

3

a-x)，
∴当

3

2

a＜x≤

3

a时，MN=

6

3

(

3

a-x)．
综上所述，y=

6 3 x，0≤x≤ 3 2 a 6 3 ( 3 a-x)， 3 2 a＜x≤ 3 a

，
∴当x=

3

2

a时，y_max=

2

2

a．

点评：本题考查异面直线的距离的求法，考查满足条件的点的确定，考查函数解析式的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．