Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为（

2

，0），离心率为

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆的右焦点为（

2

，0），离心率为

6

3

，求出c，a，可求b，即可求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆D经过坐标原点，根据点到直线的距离公式，即可得证；
（Ⅲ）分类讨论，求出|AB|的最大值，即可求△OAB面积的最大值．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆的右焦点为（

2

，0），离心率为

6

3

，
∴

c= 2 e= c a = 6 3

，
∴a=

3

，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）证明：直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，
消元可得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0
∴x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）

3m2-3

1+3k2

-km×

6km

1+3k2

+m²=0
∴4m²=3（k²+1）
∴原点O到直线的距离为d=

|m|

k2+1

=

3

2

当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∵x₁²+3y₁²=3，∴|x₁|=|y₁|=

3

2

∴原点O到直线的距离为d=|x₁|=

3

2

综上，点O到直线AB的距离为定值；
（Ⅲ）解：直线AB斜率存在时，由弦长公式可得|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)(36k2-12m2+12) (1+3k2)2

=

3+ 12 9k2+ 1 k2 +6

≤

3+ 12 6+2 9k2• 1 k2

=2，
当且仅当k=±

3

3

时，等号成立，
∴|AB|≤2，
直线AB斜率不存在时，|AB|=|y₁-y₂|=

3

＜2，
∴△OAB面积=

1

2

|AB|d≤

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
∴△OAB面积的最大值为

3

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．