Question

某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．
（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；
（Ⅱ）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．
①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为

1

2

、

1

3

，

1

5

，求甲同学面试成功的概率；
②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,分层抽样方法,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由第四组的人数能求出总人数，由此能补全频率分布直方图．
（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，由此利用独立事件概率公式能求出甲同学面试成功的概率．
②由题意得，ξ=0，1，2，3，分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵第四组的人数为60，
∴总人数为：5×60=300，

由直方图可知，第五组人数为：0.02×5×300=30人，
又

60-30

2

=15为公差，
∴第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人（4分）
（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，
则P（A）=

1

2

×

1

3

×

4

5

+

1

2

×

2

3

×

1

5

+

1

2

×

1

3

×

1

5

+

1

2

×

1

3

×

1

5

=

4

15

…..（8分）
②由题意得，ξ=0，1，2，3，
P(ξ=0)=

C 0 3 C 3 3

C 3 6

=

1

20

，
P(ξ=1)=

C 1 3 C 2 3

C 3 6

=

9

20

，
P(ξ=2)=

C 2 3 C 1 3

C 3 6

=

9

20

，
P(ξ=3)=

C 3 3 C 0 3

C 3 6

=

1

20

，
分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 20	9 20	9 20	1 20

E(ξ)=0×

1

20

+1×

9

20

+2×

9

20

+3×

1

20

=

3

2

…..（12分）

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，是历年高考的必考题型．