Question

在△ABC中，如果a，b，c分别是角A，B，C的对边，设命题p：（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B）；命题q：△ABC为直角三角形，那么命题p是命题q的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,三角函数的恒等变换及化简求值

专题：解三角形,简易逻辑

分析：利用正弦定理，两角和差的正弦公式，把已知的等式化为sin2A-sin2B=0，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答： 证明：原式化为 a²[sin（A-B）-sin（A+B）]=-b²[sin（A-B）+sin（A+B）]，
即  a²[sin（A+B）-sin（A-B）]=b²[sin（A-B）+sin（A+B）]，
故 2a²cosA•sinB=2b²sinAcosB，由正弦定理可得 2sin²AcosA•sinB=2sin²BsinAcosB，
∵0＜B＜π，0＜A＜π，∴sinA≠0，sinB≠0，∴sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，
sin2A-sin2B=0，
∴2cos（A+B）•sin（A-B）=0．
若A=B，则满足2cos（A+B）•sin（A-B）=0．但此时：△ABC为等腰三角形．充分性不成立．
若：△ABC为直角三角形，当C=90°时，cos（A+B）=0，
此时2cos（A+B）•sin（A-B）=0．成立，∴必要性成立．
即命题p是命题q的必要不充分条件．
故选：B

点评：本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式和诱导公式，根据三角函数的值求角，得到sin2A=sin2B，是解题的关键，属于中档题．要求熟练掌握充分条件和必要条件的定义．