Question

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出关于f（x）的下列命题：

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	2	0	2	1

①函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数；
②函数y=f（x）在x=2取到极小值；
③当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；
④如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．
其中所有正确命题是

 

（写出正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由导函数的图象可得函数f（x）的单调性极值与最值，进而可画出函数f（x）的图象得出答案．

解答： 解：由导函数的图象可知：

x	[-1，0）	0	（0，2）	2	（2，4）	4	（4，5]
f′（x）	+	0	-	0	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

根据上述表格及其已知表格可画出函数f（x）的图象：
①由表格和图象可知：函数f（x）在[0，2]是减函数，
因此①不正确；
②函数y=f（x）在x=2取到极小值，正确；
③作出函数y=a的图象，
可知：当1＜a＜2时，函数y=f（x）与y=a有四个交点，
因此函数y=f（x）-a有4个零点，正确；
④∵当x∈[-1，0]时，函数f（x）单调递增，其函数值由1增加到2．故如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．正确．
综上可知：只有②③④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了数形结合的能力，属于难题．