Question

数列{a_n}的首项为a（a≠0），前n项和为S_n，且S_n+1=t•S_n+a（t≠0）．设b_n=S_n+1，c_n=k+b₁+b₂+…+b_n（k∈R⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当t=1时，若对任意n∈N^*，|b_n|≥|b₃|恒成立，求a的取值范围；
（3）当t≠1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{c_n}为等比数列，且a，t，k成等差数列．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）在数列递推式中取n=n-1，得到另一递推式，作差后求得数列{a_n}为等比数列并求出公比，则数列的通项公式可求；
（2）由t=1求得a_n，S_n，b_n，由|b_n|≥|b₃|恒成立，利用取n得特殊值及单调性求函数的最值求得a的取值范围；
（3）求出等比数列{a_n}的前n项和，代入b_n=S_n+1，再求出c_n=k+b₁+b₂+…+b_n，由{c_n}为等比数列，利用等比数列的通项公式特点得到a，k，t的关系，再结合a，t，k成等差数列联立方程组求得a，t，k的值．

解答： 解：（1）∵S_n+1=t•S_n+a①
当n≥2时，S_n=t•S_n-1+a②，
①-②得，a_n+1=t•a_n（n≥2），
又由S₂=t•S₁+a，得a₂=t•a₁，
∴{a_n}是首项为a，公比为t的等比数列，
∴an=a•tn-1（n∈N^*）；
（2）当t=1时，a_n=a，S_n=na，b_n=na+1，
由|b_n|≥|b₃|，得|na+1|≥|3a+1|，（n-3）a[（n+3）a+2]≥0（*） 
当a＞0时，n＜3时，（*）不成立；
当a＜0时，（*）等价于（n-3）[（n+3）a+2]≤0（**）
n=3时，（**）成立．n≥4时，有（n+3）a+2≤0，即a≤-

2

n+3

恒成立，
∴a≤-

2

7

．n=1时，有4a+2≥0，a≥-

1

2

．n=2时，有5a+2≥0，a≥-

2

5

． 
综上，a的取值范围是[-

2

5

 ， -

2

7

]；
（3）当t≠1时，Sn=

a(1-tn)

1-t

，bn=

a(1-tn)

1-t

+1=1+

a

1-t

-

atn

1-t

，
cn=k+n+

an

1-t

-

at(1-tn)

(1-t)2

=

atn+1

(1-t)2

+

1+a-t

1-t

•n+

k(1-t)2-at

(1-t)2

，
∴当

1+a-t 1-t =0  k(1-t)2-at (1-t)2 =0

时，数列{c_n}是等比数列，∴

a=t-1  k= t t-1

，
又∵a，t，k成等差数列，∴2t=a+k，即2t=t-1+

t

t-1

，
解得t=

5 +1

2

．
从而，a=

5 -1

2

，k=

5 +3

2

．
∴当a=

5 -1

2

，t=

5 +1

2

，k=

5 +3

2

时，数列{c_n}为等比数列．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了等比数列的通项公式，训练了特值化思想在解题中的应用，考查了数列的求和方法，考查了运算能力，属难度较大的题目．