Question

已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（Ⅰ）若n=2，解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x-1|≥1，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=|x-1|+|x-2|=

-2x+3，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

，解不等式f（x）≥2即可求得答案；

（Ⅱ）令F（x）=f（x）+|x-1|，则F（x）=

-3x+2+a，x＜1 x-2+a，1≤x＜a 3x-2-a，x≥a

函数先单调递减，再单调增，从而可得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=|x-1|+|x-2|=

-2x+3，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

，
而f（x）≥2，解得x≤

1

2

或x≥

5

2

．
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+|x-1|，则F（x）=

-3x+2+a，x＜1 x-2+a，1≤x＜a 3x-2-a，x≥a

∵y=F（x）在（-∞，1）上单调递减，在[1，a）∪[a，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a-1，
∴a-1≥1，解得a≥2，
∴实数a的取值范围为[2，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论去掉绝对值符号是关键，考查运算求解能力，属于中档题．