Question

给出下列命题：
①已知命题p：?x∈R，tanx=2，命题q：?x∈R，x²-x+1≥0，则命题p∧q为真；
②函数f（x）=2^x+2x-3在定义域内有且只有一个零点；
③数列{a_n}满足：a₁=2068，且a_n+1+a_n+n²=0（n∈N^*），则a₁₁=2013；
④设0＜x＜1，则

a2

x

+

b2

1-x

的最小值为（a+b）²．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：可先判断两个命题的真假再由且命题的判断方法判断①正误．根据函数的单调性和零点存在性定理，可得②的正误；利用数列的递推关系式，求出a₁₁，即可判断③的正误；利用基本不等式判断④的正误；

解答： 解：对于①，若命题p：?x∈R，使得tanx=2；P是真命题，
命题q：对任意x∈R，x²-x+1≥0，
∵△=-3＜0，q是真命题，对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题，
则命题“p∧q”为真命题，∴①正确．
对于②，f（x）=2^x+2x-3在R上是增函数，而且f（0）=-2＜0，f（1）=1＞0
所以函数f（x）=2^x+2x-3在定义域内有且只有一个零点，故②是真命题；
对于③，数列{a_n}满足：a₁=2068，且a_n+1+a_n+n²=0（n∈N^*），
∴a₂+a₁+1²=0，a₃+a₂+2²=0，a₄+a₃+3²=0，a₅+a₄+4²=0，…，a₁₁+a₁₀+10²=0，
则-a₂-a₁-1²=0，a₃+a₂+2²=0，-a₄-a₃-3²=0，a₅+a₄+4²=0，…，a₁₁+a₁₀+10²=0，
相加可得a₁₁-a₁+10²-9²+8²-7²+6²-5²+4²-3²+2²-1²=0，
解得a₁₁=2013，∴③正确．
对于④∵0＜x＜1，
∴0＜1-x＜1，
则

a2

x

+

b2

1-x

=（

a2

x

+

b2

1-x

）[x+（1-x）]
=[a²+b²+

a2(1-x)

x

+

xb2

1-x

]≥a²+b²+2

a2(1-x) x • xb2 1-x

=（a+b）²，
当且仅当

a2(1-x)

x

=

xb2

1-x

即x=

a

a+b

时取等号，
∴④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查复合命题的真假以及四种命题，正确求解本题的关键是对命题涉及到的相关知识有着比较熟练的掌握，这样才能准确快速的做出判断．