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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
    2
    3
    ，乙在每局中获胜的概率为
    1
    3
    ，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局：
    （Ⅰ）列出随机变量ξ的分布列；
    （Ⅱ）求ξ的期望值Eξ．
    考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列
    专题：概率与统计
    分析：法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，求出该轮结束时比赛停止的概率，由此能求出ξ的分布列．
    （Ⅱ）由ξ的分布列能求出Eξ．
    法二：（Ⅰ）ξ的所有可能值为2，4，6．令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，
    .
    A
    k表示乙在第k局比赛中获胜．由独立性与互斥性能求出ξ的分布列．
    （Ⅱ）利用ξ的分布列能求出Eξ．
    解答： 解法一：
    （Ⅰ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．
    设每两局比赛为一轮，
    则该轮结束时比赛停止的概率为（
    2
    3
    ）2+（
    1
    3
    ）2=
    5
    9
    ．…（4分）
    若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
    此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
    则有P(ξ=2)=
    5
    9
    ，P(ξ=4)=
    4
    9
    •
    5
    9
    =
    20
    81
    ，P(ξ=6)=(
    4
    9
    )2=
    16
    81
    ，…（7分）
    ∴ξ的分布列为
    ξ 2 4 6
    P
    5
    9
    20
    81
    16
    81
    …（9分）
    （Ⅱ）Eξ=2×
    5
    9
    +4×
    20
    81
    +6×
    16
    81
    =
    266
    81
    ．…（12分）
    解法二：
    （Ⅰ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．
    令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，则
    .
    A
    k表示乙在第k局比赛中获胜．
    由独立性与互斥性得P（ξ=2）=P（A1A2）+P（
    .
    A
    1
    .
    A
    2    ）=
    5
    9
    ，…（2分）
    P（ξ=4）=P（A1
    .
    A
    2    A3A4    ）+P（A1
    .
    A
    2
    .
    A
    3
    .
    A
    4    ）+P（
    .
    A
    1    A2A3A4    ）+P（
    .
    A
    1    A2
    .
    A
    3
    .
    A
    4    ）
    =2[（
    2
    3
    ）3（
    1
    3
    ）+（
    1
    3
    ）3（
    2
    3
    ）]=
    20
    81
    ，…（4分）
    P（ξ=6）=P（A1
    .
    A
    2    A3
    .
    A
    4    ）+P（A1
    .
    A
    2
    .
    A
    3    A4    ）+P（
    .
    A
    1    A2A3
    .
    A
    4    ）+P（
    .
    A
    1    A2
    .
    A
    3    A4    ）
    =4（
    2
    3
    ）2（
    1
    3
    ）2=
    16
    81
    ，…（7分）
    ∴ξ的分布列为
    ξ 2 4 6
    P
    5
    9
    20
    81
    16
    81
    …（9分）
    （Ⅱ）Eξ=2×
    5
    9
    +4×
    20
    81
    +6×
    16
    81
    =
    266
    81
    ．…（12分）
    点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列命题中，真命题的个数有（　　）
    ①?x∈R，  x2-x+
    1
    4
    ≥0    ；
    ②?x＞0，  lnx+
    1
    lnx
    ≤2    ；
    ③“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件；
    ④y=x|x|是奇函数．
    A、1个B、2个C、3个D、4个

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}的前n项的和Sn与an的关系是Sn=-an+1-
    1
    2n
    ，n∈N*．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项；
    （Ⅱ）求数列{Sn}的前n项和Tn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB1=2，求：
    （1）异面直线B1C1与A1C所成角的大小；
    （2）直线B1C1到平面A1BC的距离．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设各项均为非负数的数列{an}的为前n项和Sn=λnan（a1≠a2，λ∈R）．
    （1）求实数λ的值；
    （2）求数列{an}的通项公式（用n，a2表示）．
    （3）证明：当m+l=2p（m，l，p∈N*）时，Sm•Sl≤Sp2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列命题：
    ①已知命题p：?x∈R，tanx=2，命题q：?x∈R，x2-x+1≥0，则命题p∧q为真；
    ②函数f（x）=2x+2x-3在定义域内有且只有一个零点；
    ③数列{an}满足：a1=2068，且an+1+an+n2=0（n∈N*），则a11=2013；
    ④设0＜x＜1，则
    a2
    x
    +
    b2
    1-x
    的最小值为（a+b）2．
    其中正确命题的序号是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
    ①f（2）=0；  
    ②x=4是函数y=f（x）图象的一条对称轴；  
    ③函数y=f（x）在区间[6，8]上单调递增；
    ④若方程f（x）=0．在区间[-2，2]上有两根为x1，x2，则x1+x2=0．
    以上命题正确的是
     
    ．（填序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在(1-
    		x
    )20    的展开式中，系数为有理数的项共有
     
    项．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=
    ax-1
    x+1
    ，其中a∈R
    （1）解不等式f（x）≤-1； 
    （2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

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